「掛け算」と「割り算」の話

 

 

掛け算は小学校低学年で習いますが、「掛け算の意味」をきちんと教わるのは5~6年生の段階です。

5年生の「1あたりの数(単位数量)」とその発展形の(6年生の)「速度」のところです。

ここでの学習を経た段階で「3×4と4×3は意味が違うのだ」ということを

「なんとなく」でも、わかっていないといけません。

 

どちらも答えは12ですから「できる数学」の立場ではどちらも同じということになりますが、

「わかる数学」の立場では厳密に区別されていて、

掛けられる数は「単位数量」で、掛けるほうの数は「単位数」なのです。

 

「距離」を求める公式は、「速さ」×「時間」であって、「時間」×「速さ」とは習いません。

ここでの理解の違いが、中学、高校での数学的センスの有無になって現れてきます。

 

  掛け算と割り算は表裏一体ですから、上の考え方の違いが割り算にも表れてきます。

12÷3=4には考え方が2通りあって(当たり前ですが)

「12を3つに分けたひとつ分が4」(等分除)    「12の中に3が4こある」(包分除)の2通りです

 

○○○○|○○○○|○○○○  等分除のイメージ(4×3の逆算)

○○○|○○○|○○○|○○○ 包分除のイメージ(3×4の逆算)

 

子供たちはこの2つの考え方を駆使し、使い分けながら、より複雑な問題に対処しています

2つのイメージの使い方に偏りがある子は、文章問題が苦手だったりするのですが、

その偏りは外からはなかなか発見できません。

どちらも表面上は12÷3=4なのですから、「それができれば問題なし」

として通過してしまうのです。

 

 

ところで、

上の図のように2つの割り算の考え方は全然違うのに、どうして同じ1つの式で表すのでしょうか?

このことにも実はちゃんとした理由があって、高校での数学(個数の処理)を経て何となく理解するようになります。

(現状はなかなか理解せずに、大多数はそのまま卒業してしまいますが…)

 

やり方を習得したうえで、「なぜそうするのか」を知ることが、

より高度な数学を理解する上で非常に大切だということを、

お分かりいただけたでしょうか。

 

これはあらゆる数学のジャンルについて言えることで、

「分数の割り算は どうして ひっくり返して掛けるのか?」とか

「ある数にマイナスの数を掛けるとなぜ符号が逆転するのか?」

といったことはすべて理由があり、高度な高校の数学へと直結しています。

 

実は、英語にも同様に2通りの教え方(学び方)があり、

生徒の年齢や、能力、環境によって、使い分ける必要があります。

これについては次回、お話ししようと思います。