掛け算は小学校低学年で習いますが、「掛け算の意味」をきちんと教わるのは5~6年生の段階です。
5年生の「１あたりの数（単位数量）」とその発展形の（6年生の）「速度」のところです。
ここでの学習を経た段階で「３×４と４×３は意味が違うのだ」ということを
「なんとなく」でも、わかっていないといけません。
どちらも答えは１２ですから「できる数学」の立場ではどちらも同じということになりますが、
「わかる数学」の立場では厳密に区別されていて、
掛けられる数は「単位数量」で、掛けるほうの数は「単位数」なのです。
「距離」を求める公式は、「速さ」×「時間」であって、「時間」×「速さ」とは習いません。
ここでの理解の違いが、中学、高校での数学的センスの有無になって現れてきます。
掛け算と割り算は表裏一体ですから、上の考え方の違いが割り算にも表れてきます。
１２÷３＝４には考え方が2通りあって（当たり前ですが）
「１２を３つに分けたひとつ分が４」（等分除） と 「１２の中に３が４こある」（包分除）の２通りです
○○○○｜○○○○｜○○○○ 等分除のイメージ（４×３の逆算）
○○○｜○○○｜○○○｜○○○ 包分除のイメージ（３×４の逆算）
子供たちはこの２つの考え方を駆使し、使い分けながら、より複雑な問題に対処しています。
２つのイメージの使い方に偏りがある子は、文章問題が苦手だったりするのですが、
その偏りは外からはなかなか発見できません。
どちらも表面上は１２÷３＝４なのですから、「それができれば問題なし」
として通過してしまうのです。
ところで、
上の図のように２つの割り算の考え方は全然違うのに、どうして同じ１つの式で表すのでしょうか？
このことにも実はちゃんとした理由があって、高校での数学（個数の処理）を経て何となく理解するようになります。
（現状はなかなか理解せずに、大多数はそのまま卒業してしまいますが…）
やり方を習得したうえで、「なぜそうするのか」を知ることが、
より高度な数学を理解する上で非常に大切だということを、
お分かりいただけたでしょうか。
これはあらゆる数学のジャンルについて言えることで、
「分数の割り算は
どうして ひっくり返して掛けるのか？」とか
「ある数にマイナスの数を掛けるとなぜ符号が逆転するのか？」
といったことはすべて理由があり、高度な高校の数学へと直結しています。
実は、英語にも同様に2通りの教え方（学び方）があり、
生徒の年齢や、能力、環境によって、使い分ける必要があります。
これについては次回、お話ししようと思います。