掛け算は小学校低学年で習いますが、「掛け算の意味」をきちんと教わるのは5~6年生の段階です。
5年生の「1あたりの数(単位数量)」とその発展形の(6年生の)「速度」のところです。
ここでの学習を経た段階で「3×4と4×3は意味が違うのだ」ということを
「なんとなく」でも、わかっていないといけません。
どちらも答えは12ですから「できる数学」の立場ではどちらも同じということになりますが、
「わかる数学」の立場では厳密に区別されていて、
掛けられる数は「単位数量」で、掛けるほうの数は「単位数」なのです。
「距離」を求める公式は、「速さ」×「時間」であって、「時間」×「速さ」とは習いません。
ここでの理解の違いが、中学、高校での数学的センスの有無になって現れてきます。
掛け算と割り算は表裏一体ですから、上の考え方の違いが割り算にも表れてきます。
12÷3=4には考え方が2通りあって(当たり前ですが)
「12を3つに分けたひとつ分が4」(等分除) と 「12の中に3が4こある」(包分除)の2通りです
○○○○|○○○○|○○○○ 等分除のイメージ(4×3の逆算)
○○○|○○○|○○○|○○○ 包分除のイメージ(3×4の逆算)
子供たちはこの2つの考え方を駆使し、使い分けながら、より複雑な問題に対処しています。
2つのイメージの使い方に偏りがある子は、文章問題が苦手だったりするのですが、
その偏りは外からはなかなか発見できません。
どちらも表面上は12÷3=4なのですから、「それができれば問題なし」
として通過してしまうのです。
ところで、
上の図のように2つの割り算の考え方は全然違うのに、どうして同じ1つの式で表すのでしょうか?
このことにも実はちゃんとした理由があって、高校での数学(個数の処理)を経て何となく理解するようになります。
(現状はなかなか理解せずに、大多数はそのまま卒業してしまいますが…)
やり方を習得したうえで、「なぜそうするのか」を知ることが、
より高度な数学を理解する上で非常に大切だということを、
お分かりいただけたでしょうか。
これはあらゆる数学のジャンルについて言えることで、
「分数の割り算は
どうして ひっくり返して掛けるのか?」とか
「ある数にマイナスの数を掛けるとなぜ符号が逆転するのか?」
といったことはすべて理由があり、高度な高校の数学へと直結しています。
実は、英語にも同様に2通りの教え方(学び方)があり、
生徒の年齢や、能力、環境によって、使い分ける必要があります。
これについては次回、お話ししようと思います。